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地图区域的边界点按不同方向走一圈，带符号面积会改变正负，但实际覆盖面积不会因此变成负数。用一个矩形挖去上边凹口的例子，可以同时核对边界公式和直观分块。

本篇使用一组可以手算或逐行复查的虚构游戏记录。先读清操作顺序与边界，再看完整过程；它不是某一款现有游戏的隐藏公式，也不要求读者安装工具。

规则与输入

坐标横向右、纵向上，八个顶点组成没有自交的凹多边形。按给定顺序将相邻点的横纵交叉乘积作差并求和，最后除二得到带符号面积；最后一点必须接回第一点。另比较倒序顶点。

八组外框上边带矩形凹口的独立边界，均包含闭合的最后一条边。

逐步计算与结果

第1组外框6×7，凹口宽1、深2，平移[9, 0]，顶点[[9, 0], [15, 0], [15, 7], [11, 7], [11, 5], [10, 5], [10, 7], [9, 7]]。逐边交叉差[0, 105, 28, -22, 5, 20, 7, -63]，合计80，带符号面积40，倒序为-40，实际面积40。

第2组外框10×8，凹口宽1、深1，平移[-4, -3]，顶点[[-4, -3], [6, -3], [6, 5], [-2, 5], [-2, 4], [-3, 4], [-3, 5], [-4, 5]]。逐边交叉差[30, 48, 40, 2, 4, -3, 5, 32]，合计158，带符号面积79，倒序为-79，实际面积79。

第3组外框9×5，凹口宽5、深4，平移[1, -8]，顶点[[1, -3], [3, -3], [3, -7], [8, -7], [8, -3], [10, -3], [10, -8], [1, -8]]。逐边交叉差[6, -12, 35, 32, 6, -50, -72, 5]，合计-50，带符号面积-25，倒序为25，实际面积25。

第4组外框10×9，凹口宽4、深2，平移[-3, -7]，顶点[[-3, 2], [1, 2], [1, 0], [5, 0], [5, 2], [7, 2], [7, -7], [-3, -7]]。逐边交叉差[-8, -2, 0, 10, -4, -63, -70, -27]，合计-164，带符号面积-82，倒序为82，实际面积82。

第5组外框11×8，凹口宽2、深6，平移[-8, 7]，顶点[[-8, 15], [-1, 15], [-1, 9], [1, 9], [1, 15], [3, 15], [3, 7], [-8, 7]]。逐边交叉差[-105, 6, -18, 6, -30, -24, 77, -64]，合计-152，带符号面积-76，倒序为76，实际面积76。

第6组外框12×8，凹口宽5、深1，平移[7, 4]，顶点[[7, 4], [19, 4], [19, 12], [15, 12], [15, 11], [10, 11], [10, 12], [7, 12]]。逐边交叉差[-48, 152, 48, -15, 55, 10, 36, -56]，合计182，带符号面积91，倒序为-91，实际面积91。

第7组外框6×12，凹口宽2、深2，平移[5, 4]，顶点[[5, 4], [11, 4], [11, 16], [10, 16], [10, 14], [8, 14], [8, 16], [5, 16]]。逐边交叉差[-24, 132, 16, -20, 28, 16, 48, -60]，合计136，带符号面积68，倒序为-68，实际面积68。

第8组外框13×10，凹口宽1、深6，平移[-8, -4]，顶点[[-8, 6], [-3, 6], [-3, 0], [-2, 0], [-2, 6], [5, 6], [5, -4], [-8, -4]]。逐边交叉差[-30, 18, 0, -12, -42, -50, -52, -80]，合计-248，带符号面积-124，倒序为124，实际面积124。

逐组用外框减凹口核验绝对面积，正负只随绕行方向变化，平移不增加或减少覆盖。

怎样独立复核

不使用边界求和，直接用外矩形面积减去凹口矩形面积，应该等于带符号面积绝对值。倒序只改变符号，平移全部点不改变面积；这些是本例的独立交叉检查。

很多图像坐标的纵轴向下，视觉顺逆时针的解释会反过来，应先说明坐标约定。自交边界需要额外定义填充规则，不能直接拿这里的绝对值当作任何复杂路径的覆盖面积。

练习时可以只改变一个输入，再预测哪一步会最先改变。保留中间记录，检查空状态、相等数值和刚好落在边界的情况。最终结果碰巧相同，并不能证明两个过程等价；反过来，采用不同规则得出不同结果，也不应立即视作程序故障。